Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 11}$ , $x = 5$

Langkah 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Substitusikan $5$ ke dalam $x$ .

$y = \sqrt{{(5)}^{2} + 11}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\sqrt{{(5)}^{2} + 11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \sqrt{25 + 11}$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $25$ dan $11$ .

$y = \sqrt{36}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$y = \sqrt{6^{2}}$

Langkah 1.2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = 6$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 5$ dan $y = 6$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 11}$ sebagai ${(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 11$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 11$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [11])$

Langkah 2.10

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 2.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 2.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 2.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.12

Evaluasi turunan pada $x = 5$ .

$\frac{5}{{({(5)}^{2} + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{5}{{(25 + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.2

Tambahkan $25$ dan $11$ .

$\frac{5}{36^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.3

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{5}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2.13.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.13.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 2.13.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{6^{1}}$

Langkah 2.13.6

Evaluasi eksponennya.

$\frac{5}{6}$

Langkah 3

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan gradien $\frac{5}{6}$ dan titik yang diberikan $(5, 6)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{5}{6} \cdot (x - (5))$

Langkah 3.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 6 = \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\frac{5}{6} \cdot (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 6 = \frac{5}{6} \cdot (x - 5)$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 6 = \frac{5}{6} x + \frac{5}{6} \cdot - 5$

Langkah 3.3.1.4

Gabungkan $\frac{5}{6}$ dan $x$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{5}{6} \cdot - 5$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $\frac{5}{6} \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{5}{6}$ dan $- 5$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{5 \cdot - 5}{6}$

Langkah 3.3.1.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 5$ .

$y - 6 = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25}{6}$

Langkah 3.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 6 = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + 6$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + 6 \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{5 x}{6} - \frac{25}{6} + \frac{6 \cdot 6}{6}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 6 \cdot 6}{6}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 36}{6}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $- 25$ dan $36$ .

$y = \frac{5 x}{6} + \frac{11}{6}$

Langkah 3.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{5}{6} x + \frac{11}{6}$

Langkah 4