Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{8}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Langkah 1.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Langkah 1.1.3.6

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Faktorkan $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ dari $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Faktorkan $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ dari $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Langkah 1.1.4.1.2

Faktorkan $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ dari $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Langkah 1.1.4.1.3

Faktorkan $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ dari $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Langkah 1.1.4.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Atur $x^{7}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x^{7}$ sama dengan $0$ .

$x^{7} = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $x^{7} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan $\sqrt[7]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Langkah 2.3.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 2.4

Atur ${(x - 1)}^{6}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur ${(x - 1)}^{6}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{6} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.5

Atur $7 x + 8 (x - 1)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $7 x + 8 (x - 1)$ sama dengan $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $7 x + 8 (x - 1) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan $7 x + 8 (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.5.2.1.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Langkah 2.5.2.1.2

Tambahkan $7 x$ dan $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$15 x = 8$

Langkah 2.5.2.3

Bagi setiap suku pada $15 x = 8$ dengan $15$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah setiap suku di $15 x = 8$ dengan $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Langkah 2.5.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Langkah 2.5.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ benar.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Langkah 4.1.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $7$ .

$0 \cdot - 1$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan ${((1) - 1)}^{7}$ dengan $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Langkah 4.2.2.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0^{7}$

Langkah 4.2.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = \frac{8}{15}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{8}{15}$ untuk $x$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Langkah 4.3.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Langkah 4.3.2.3

Naikkan $15$ menjadi pangkat $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Langkah 4.3.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.7.2

Kurangi $15$ dengan $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Langkah 4.3.2.9

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Langkah 4.3.2.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Langkah 4.3.2.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Langkah 4.3.2.11

Naikkan $7$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Langkah 4.3.2.12

Naikkan $15$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Langkah 4.3.2.13

Kalikan $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.13.1

Kalikan $\frac{16777216}{2562890625}$ dengan $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Langkah 4.3.2.13.2

Kalikan $16777216$ dengan $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Langkah 4.3.2.13.3

Kalikan $2562890625$ dengan $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Langkah 5