Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $12 x^{2} + 6 x - 6$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $x$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Langkah 4.1.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.9.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Langkah 4.1.2.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Langkah 4.1.2.1.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Langkah 4.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Langkah 4.1.2.2.3

Tulis $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Langkah 4.1.2.2.4

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Langkah 4.1.2.2.5

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Langkah 4.1.2.2.6

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Langkah 4.1.2.2.7

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 4.1.2.2.8

Kalikan $\frac{1}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 4.1.2.2.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Langkah 4.1.2.4.2

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Langkah 4.1.2.4.3

Kurangi $12$ dengan $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Langkah 4.1.2.4.4

Tambahkan $- 7$ dan $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Langkah 4.1.2.4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{4}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Langkah 4.2.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Langkah 4.2.2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$5 + 1$

Langkah 4.2.2.2.3

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$6$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Langkah 5