Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 30$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 30 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $12 x^{3} - 60 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{3} - 60 x$ .

$12 x^{3} - 60 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{3} - 60 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{3} - 60 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3} - 60 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $12 x$ dari $- 60 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ .

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x^{2} - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x^{2} - 5$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $x^{2} - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 5$

Langkah 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Langkah 2.5.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{5}$

Langkah 2.5.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{5}$

Langkah 2.5.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (x^{2} - 5) = 0$ benar.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 30$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 27$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 27$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $27$ .

$27$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\sqrt{5}$ untuk $x$ .

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{4}$ sebagai $5^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Langkah 4.2.2.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $- 30$ dengan $5$ .

$75 - 150 + 27$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Kurangi $150$ dengan $75$ .

$- 75 + 27$

Langkah 4.2.2.2.2

Tambahkan $- 75$ dan $27$ .

$- 48$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = - \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- \sqrt{5}$ untuk $x$ .

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{5}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan ${\sqrt{5}}^{4}$ dengan $1$ .

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{4}$ sebagai $5^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.4.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{5}$ .

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Langkah 4.3.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Langkah 4.3.2.1.9

Kalikan ${\sqrt{5}}^{2}$ dengan $1$ .

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.10.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.10.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Langkah 4.3.2.1.10.5

Evaluasi eksponennya.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Langkah 4.3.2.1.11

Kalikan $- 30$ dengan $5$ .

$75 - 150 + 27$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kurangi $150$ dengan $75$ .

$- 75 + 27$

Langkah 4.3.2.2.2

Tambahkan $- 75$ dan $27$ .

$- 48$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

Langkah 5