Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Langkah 1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Langkah 1.1.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Langkah 1.1.10.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Langkah 1.1.10.3

Gabungkan $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.1.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Langkah 3.3.3.1.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.3

Atur ${(x + 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Atur ${(x + 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.3.2

Selesaikan ${(x + 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.3.3.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.3.3.4

Atur ${(x - 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1

Atur ${(x - 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.4.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.3.3.4.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.3.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 3.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Langkah 4

Evaluasi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.2.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 1)}^{1}$

Langkah 4.1.2.3

Evaluasi eksponennya.

$- 1$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.2.2.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0^{1}$

Langkah 4.2.2.3

Evaluasi eksponennya.

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.3.2.1.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 4.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$0^{1}$

Langkah 4.3.2.3

Evaluasi eksponennya.

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Langkah 5