Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ sebagai ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.1.10

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Langkah 1.1.12

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Langkah 1.1.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.13.2

Kalikan $2 x - 2$ dengan $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.13.3

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.13.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.1.13.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi setiap suku pada $2 (x - 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (x - 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Bagilah $x - 1$ dengan $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Langkah 3.2

Atur penyebut dalam $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ sebagai ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.3

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.3.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.3.3.3.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.3.3.3.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.3.3.3.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.3.3.4

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.3.3.4.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.4.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.3.3.4.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.3.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 3.4

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = 0, x = 2$

Langkah 4

Evaluasi $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Langkah 4.1.2.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Langkah 4.1.2.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 4.1.2.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$- 1$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Langkah 4.2.2.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 4.2.2.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$0$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Langkah 4.3.2.4

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 4.3.2.5

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$0$

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Langkah 5