Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.3

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.6.2

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.2.6.3

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.1.3.2

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.1.3.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.1.3.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.1.3.5

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{4} - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.7.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.7.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 4}$

Langkah 1.1.3.7.2

Kurangi $12$ dengan $16$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Langkah 1.1.3.7.3

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.7.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.4.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.6

Tambahkan $2 x - 4$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Langkah 1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 1.3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.9.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 1.3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 1.3.9.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 1.3.10

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + 0}$

Langkah 1.3.11

Tambahkan $4 x^{3} - 6 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Langkah 2.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Langkah 2.4

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Langkah 2.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Langkah 2.6

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Langkah 2.7

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Langkah 2.8

Pindahkan suku $6$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hapus faktor persekutuan dari $2 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ dan $4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $2 \cdot 2$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.4

Tulis kembali $- (- 2 \cdot 2 + 4)$ sebagai $- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 1 (4 - 2 \cdot 2)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.6

Faktorkan $2$ dari $- 1 (4 - 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Faktorkan $2$ dari $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) - 6 \cdot 2}$

Langkah 4.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 6 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)}$

Langkah 4.1.7.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

Langkah 4.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

Langkah 4.1.7.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 (2 - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2

Hapus faktor persekutuan dari $2 - 1 \cdot 2$ dan $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 (2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2 + 2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.4

Faktorkan $2$ dari $- 1 (- 1 (- 2 + 2))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) - 3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3}$

Langkah 4.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

Langkah 4.2.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

Langkah 4.2.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 (- 1 (- 1 + 1))}{2^{3} - 3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 (- 1 + 1)}{2^{3} - 3}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 1 + 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{2^{3} - 3}$

Langkah 4.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 1 + 1}{8 - 3}$

Langkah 4.4.2

Kurangi $3$ dengan $8$ .

$\frac{- 1 + 1}{5}$

Langkah 4.5

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{0}{5}$

Langkah 4.6

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$0$