Kalkulus Contoh

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Langkah 1

Tulis $y = 5 x^{3} - 3 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Langkah 2

Periksa apakah titik yang diberikan terletak pada grafik dari fungsi yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Langkah 2.1.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Langkah 2.1.2.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$f (1) = 2$

Langkah 2.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 2.2

Karena $2 = 2$ , titiknya berada pada grafik.

Titik berada pada grafik

Langkah 3

Gradien garis tangen adalah turunan dari pernyataan.

(Variabel0) $=$ Turunan dari $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Langkah 4

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 5

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.4

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Langkah 5.1.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Langkah 5.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Langkah 5.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Langkah 5.2.2

Pindahkan $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Langkah 5.2.3

Pindahkan $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Langkah 5.2.4

Pindahkan $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Langkah 5.2.5

Pindahkan $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Langkah 5.2.6

Susun kembali $15 h^{2} x$ dan $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Langkah 5.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Langkah 6

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Langkah 7.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Langkah 7.1.4

Kurangi $5 x^{3}$ dengan $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $5 h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Langkah 7.1.6

Tambahkan $- 3 x$ dan $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Langkah 7.1.7

Tambahkan $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8

Faktorkan $h$ dari $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Faktorkan $h$ dari $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.2

Faktorkan $h$ dari $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.3

Faktorkan $h$ dari $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Langkah 7.1.8.4

Faktorkan $h$ dari $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Langkah 7.1.8.5

Faktorkan $h$ dari $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Langkah 7.1.8.6

Faktorkan $h$ dari $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Langkah 7.1.8.7

Faktorkan $h$ dari $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Langkah 7.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Langkah 7.2.2.2

Pindahkan $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Langkah 7.2.2.3

Susun kembali $15 x h$ dan $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Langkah 8

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $15 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Langkah 10

Pindahkan suku $15 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Langkah 11

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Langkah 12

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Langkah 13

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Langkah 14

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Langkah 14.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Langkah 15

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kalikan $15 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Langkah 15.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Langkah 15.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 15.1.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 15.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Langkah 15.2

Gabungkan suku balikan dalam $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Tambahkan $15 x^{2}$ dan $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $15 x^{2}$ dan $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Langkah 16

Tentukan gradien $m$ . Dalam hal ini $m = 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Hilangkan tanda kurung.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Langkah 16.2

Sederhanakan $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Langkah 16.2.1.2

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$m = 15 - 3$

Langkah 16.2.2

Kurangi $3$ dengan $15$ .

$m = 12$

Langkah 17

Gradiennya adalah $m = 12$ dan titiknya adalah $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Langkah 18

Temukan nilai dari $b$ menggunakan rumus untuk persamaan sebuah garis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gunakan rumus untuk persamaan garis untuk mencari $b$ .

$y = m x + b$

Langkah 18.2

Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaannya.

$y = (12) \cdot x + b$

Langkah 18.3

Substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaannya.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Langkah 18.4

Substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaannya.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Langkah 18.5

Temukan nilai dari $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Langkah 18.5.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 + b = 2$

Langkah 18.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $b$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.3.1

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b = 2 - 12$

Langkah 18.5.3.2

Kurangi $12$ dengan $2$ .

$b = - 10$

Langkah 19

Sekarang setelah nilai-nilai dari $m$ (gradien) dan $b$ (perpotongan sumbu y) diketahui, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam $y = m x + b$ untuk menentukan persamaan garis.

$y = 12 x - 10$

Langkah 20