Kalkulus Contoh

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Langkah 1.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Langkah 1.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Langkah 1.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Langkah 1.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 3.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 3.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 3.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Langkah 3.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Langkah 3.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Langkah 3.5.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Langkah 4

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y, y, 1$

Langkah 4.1.2

Karena $2 y, y, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $2, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}, y^{1}$ .

Langkah 4.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 4.1.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 4.1.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 4.1.6

KPK dari $2, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 4.1.7

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 4.1.8

KPK dari $y^{1}, y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 4.1.9

KPK untuk $2 y, y, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y$

Langkah 4.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ dengan $2 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ dengan $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $2 \frac{3 x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.2.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $0 (2 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Langkah 4.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Langkah 4.3.1.2

Faktorkan $3 x$ dari $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Langkah 4.3.1.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Langkah 4.3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 4.3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.3.4

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.3.4.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 x (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $0$ dengan $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Langkah 6.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Langkah 6.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Langkah 7.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Langkah 7.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (- 2) = 2$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Langkah 9