Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Langkah 1.4.2.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 1.4.2.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Langkah 2

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $2 \cos (x)$ dari $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.4.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.4.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.4.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.4.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.4.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.4.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.5

Atur $\sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $\sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $\sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 2.5.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 2.5.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.6

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.5.2.7

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.7.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 2.5.2.7.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.7.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.7.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.5.2.7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.5.2.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.5.2.7.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.7.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Selesaikan fungsi asal $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ pada $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Langkah 3.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Langkah 3.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Langkah 3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ pada $x = \frac{π}{2} + π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2} + π$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.4.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.7

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.7.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Langkah 4.2.1.8

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 4.2.1.9

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Langkah 4.2.1.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Langkah 4.2.1.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.11.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Langkah 4.2.1.11.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 4.2.1.12

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Langkah 4.2.1.13

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Langkah 4.2.1.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.2.1.15

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ adalah $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Langkah 6