Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.7

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- x^{2} + 1 = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 1$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.2.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Selesaikan fungsi asal $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Langkah 3.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ adalah $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

Langkah 6