Kalkulus Contoh

$x^{2} + 4 y^{2} = 36$

Langkah 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$

Langkah 1.2

Bagi setiap suku pada $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ dengan $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 1.2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Bagilah $36$ dengan $4$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{4}$

Langkah 1.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Langkah 1.4.1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{4}$ sebagai ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Langkah 1.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 3$ dan $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.3

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 2 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.6

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.7

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Langkah 1.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 - x}{2}}$

Langkah 1.4.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$

Langkah 1.4.11

Kalikan $\frac{6 + x}{2}$ dengan $\frac{6 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.4.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}}$

Langkah 1.4.13

Tulis kembali $\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.13.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(6 + x) (6 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{4}}$

Langkah 1.4.13.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 1.4.13.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

Langkah 1.4.14

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Langkah 1.4.15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Langkah 1.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Langkah 1.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Langkah 1.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Langkah 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Langkah 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Langkah 3.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 4 y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 4 (2 y y')$

Langkah 3.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$2 x + 8 y y'$

Langkah 3.2.3

Susun kembali suku-suku.

$8 y y' + 2 x$

Langkah 3.3

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$8 y y' + 2 x = 0$

Langkah 3.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y y' = - 2 x$

Langkah 3.5.2

Bagi setiap suku pada $8 y y' = - 2 x$ dengan $8 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $8 y y' = - 2 x$ dengan $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Langkah 3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Langkah 3.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Langkah 3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $8 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{4 y}$

Langkah 3.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Langkah 3.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Langkah 5.2.2.3

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Langkah 5.2.2.4

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{36}}{2}$

Langkah 5.2.2.5

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Langkah 5.2.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = \frac{6}{2}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$f (0) = 3$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Langkah 6.2.2.3

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Langkah 6.2.2.4

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{36}}{2}$

Langkah 6.2.2.5

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Langkah 6.2.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (0) = - \frac{6}{2}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 3$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (0) = - 3$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

Langkah 8