Kalkulus Contoh

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8.3

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.12.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.3

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.1.4

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.2

Untuk menuliskan $- x^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.3

Gabungkan $- x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.5.1.1

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.5.1.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.1.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.1.1.3

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.1.1.4

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.1.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.1

Kalikan $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ dengan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.2

Gabungkan.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.7

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.8

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.8.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.8.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.8.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.8.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.8.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.9

Sederhanakan $x^{1} \cdot - 2$ .

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.10

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.3.11.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.7

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.13.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 5

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ adalah $y = \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Langkah 6