Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Langkah 1

Tetapkan $y$ sebagai fungsi dari $x$ .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Langkah 2

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 14$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 14 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 28$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Faktorkan $- 28$ dari $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali $- 28$ sebagai $- 1$ ditambah $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

Langkah 3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Langkah 3.3

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 3.4

Atur $x - 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x - 9$ sama dengan $0$ .

$x - 9 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 9$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 9$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ pada $x = \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.7

Gabungkan $- 14$ dan $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.9.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

Langkah 4.2.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

Langkah 4.2.1.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

Langkah 4.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{14}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $\frac{14}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

Langkah 4.2.2.3

Tulis $3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Langkah 4.2.2.4

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Langkah 4.2.2.5

Kalikan $\frac{3}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.2.2.6

Susun kembali faktor-faktor dari $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.2.2.7

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $- 14$ dengan $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kurangi $42$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

Langkah 4.2.5.2

Tambahkan $- 41$ dan $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Langkah 4.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Langkah 5

Selesaikan fungsi asal $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ pada $x = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 14$ dengan $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $1134$ dengan $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 405$ dan $81$ .

$f (9) = - 324$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 324$ .

$- 324$

Langkah 6

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ adalah $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

Langkah 7