Kalkulus Contoh

$y = x + \sin (x y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \sin (x y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Langkah 3.3.2

Susun kembali suku-suku.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Langkah 5.2

Kurangkan $x y' \cos (x y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' - x y' \cos (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ dengan $1 - x \cos (x y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ dengan $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x \cos (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Langkah 7

Tetapkan $\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan $x$ dalam bentuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y \cos (x y) = - 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $y \cos (x y) = - 1$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $y \cos (x y) = - 1$ dengan $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x y)$ dengan $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Langkah 7.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Langkah 7.2.4

Bagi setiap suku pada $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Bagilah setiap suku di $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ dengan $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Langkah 7.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Langkah 7.2.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Langkah 8.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Langkah 8.1.1.2

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arccos (- \frac{1}{y})$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Oleh karena itu, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ adalah $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Langkah 8.1.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Langkah 8.1.1.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.5

Kalikan $- - \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.8

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Langkah 8.1.1.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Langkah 8.1.1.10

Kalikan $\frac{y - 1}{y}$ dengan $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Langkah 8.1.1.11

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Langkah 8.1.1.12

Tulis kembali $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.12.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Langkah 8.1.1.12.2

Faktorkan kuadrat sempurna $y^{2}$ dari $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Langkah 8.1.1.12.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Langkah 8.1.1.13

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Langkah 8.1.1.14

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Langkah 8.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Langkah 8.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$y \approx 1.94368519$

Langkah 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Langkah 9.2

Sederhanakan $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Bagilah $1$ dengan $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Langkah 9.2.1.3

Evaluasi $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Langkah 9.2.2

Bagilah $2.11120515$ dengan $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Langkah 10

Tentukan titik di mana $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Langkah 11