Kalkulus Contoh

$x^{6} = \cot (y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\cot (u)$ terhadap $u$ adalah $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ dengan $- \csc^{2} (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ dengan $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Langkah 5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Langkah 7

Tetapkan $\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan $x$ dalam bentuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 x^{5} = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagi setiap suku pada $6 x^{5} = 0$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{5} = 0$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 7.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 7.2.1.2.1.2

Bagilah $x^{5}$ dengan $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Langkah 7.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$x^{5} = 0$

Langkah 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan $\sqrt[5]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Langkah 7.2.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Langkah 8.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\cot (y) = 0$

Langkah 8.3

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam kotangen.

$y = arccot (0)$

Langkah 8.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Nilai eksak dari $arccot (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Langkah 8.5

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$y = π + \frac{π}{2}$

Langkah 8.6

Sederhanakan $π + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 8.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 8.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 8.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 8.6.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.7

Tentukan periode dari $\cot (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 8.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 8.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 8.7.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 8.8

Periode dari fungsi $\cot (y)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8.9

Gabungkan jawabannya.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Tentukan titik di mana $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Langkah 10