Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} = 12$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $12$ dengan $3$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 1.2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 1.2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 1.2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x^{3} - 12 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 - 12 \cdot 2$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$8 - 24$

Langkah 1.4.1.2.2

Kurangi $24$ dengan $8$ .

$- 16$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 2$ .

$- 8 + 24$

Langkah 1.4.2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $24$ .

$16$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(2, - 16), (- 2, 16)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(2, - 16)$

Langkah 3

Gunakan uji turunan pertama untuk menentukan titik yang dapat menjadi maksimum atau minimum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 3.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 4$ , dari interval $(- \infty, - 2)$ dalam turunan pertama $3 x^{2} - 12$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12$

Langkah 3.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $48$ .

$f' (- 4) = 36$

Langkah 3.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$36$

Langkah 3.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- 2, 2)$ dalam turunan pertama $3 x^{2} - 12$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Langkah 3.3.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Langkah 3.3.2.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 12$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$- 12$

Langkah 3.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(2, \infty)$ dalam turunan pertama $3 x^{2} - 12$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f' (4) = 48 - 12$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $12$ dengan $48$ .

$f' (4) = 36$

Langkah 3.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$36$

Langkah 3.5

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari positif menjadi negatif di sekitar $x = - 2$ , maka $x = - 2$ adalah maksimum lokal.

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

Langkah 3.6

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 2$ , maka $x = 2$ adalah minimum lokal.

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 3.7

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

$x = 2$ adalah minimum lokal

$x = - 2$ adalah maksimum lokal

$x = 2$ adalah minimum lokal

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Tidak ada maksimum mutlak

Minimum Mutlak: $(2, - 16)$

Langkah 5