Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20 x$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 20$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Langkah 2.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 3$ , $b = - 16$ , dan $c = - 20$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.3

Tambahkan $256$ dan $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.4

Tulis kembali $496$ sebagai $4^{2} \cdot 31$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.3

Tambahkan $256$ dan $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.4

Tulis kembali $496$ sebagai $4^{2} \cdot 31$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.3

Tambahkan $256$ dan $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.4

Tulis kembali $496$ sebagai $4^{2} \cdot 31$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 2.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 2.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.0451763$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.0451763$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4.18274609$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 2.0451763$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $12.54823829$ dan $32.7228208$ .

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $20$ dengan $45.27105909$ .

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $25.27105909$ .

$25.27105909$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2.0451763$ , turunannya adalah $25.27105909$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.6666666$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $2.6666666$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $7.11111075$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $2.6666666$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $42.6666656$ dengan $21.33333226$ .

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $20$ dengan $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 41.\overline{3}$ .

$- 41.\overline{3}$

Langkah 6.3

Pada $x = 2.6666666$ , turunannya adalah $- 41.\overline{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ .

Menurun pada $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $7.3785095$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $7.3785095$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $54.44240244$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $7.3785095$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $118.056152$ dengan $163.32720732$ .

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $20$ dengan $45.27105532$ .

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $25.27105532$ .

$25.27105532$

Langkah 7.3

Pada $x = 7.3785095$ , turunannya adalah $25.27105532$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Menurun pada: $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$

Langkah 9