Kalkulus Contoh

$f (x) = x - x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 1$ .

$- 3 x^{2} + 1$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x^{2} = - 1$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 3 x^{2} = - 1$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x^{2} = - 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 2.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 2.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 2.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.57735026$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.57735026$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 7.46410152$ dan $1$ .

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1.57735026$ , turunannya adalah $- 6.46410152$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Meningkat pada $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.57735026$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.57735026$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 7.46410152$ dan $1$ .

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Langkah 7.3

Pada $x = 1.57735026$ , turunannya adalah $- 6.46410152$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Menurun pada: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 9