Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{4} + 32 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $32$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $32 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $96 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ .

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $24 x^{2} (x + 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 4$ .

$0, - 4$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $- 125$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $96$ dengan $25$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 3000$ dan $2400$ .

$f' (- 5) = - 600$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 600$ .

$- 600$

Langkah 5.3

Pada $x = - 5$ , turunannya adalah $- 600$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 4)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 4, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $96$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 384$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 192$ dan $384$ .

$f' (- 2) = 192$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $192$ .

$192$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $192$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 4, 0)$ .

Meningkat pada $(- 4, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $96$ dengan $1$ .

$f' (1) = 24 + 96$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $24$ dan $96$ .

$f' (1) = 120$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $120$ .

$120$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $120$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 4, 0), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 4)$

Langkah 9