Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Langkah 1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 6 x$ dari $- 24 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 6 x$ dari $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $- 6 x$ dari $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $- 6 x$ dari $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $4 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $4 x - 1$ sama dengan $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $4 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = 1$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 6 x (4 x - 1) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Langkah 5.2.2

Kurangi $6$ dengan $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 30$ .

$- 30$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 30$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{1}{4})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.125$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.125$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 0.375$ dan $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.375$ .

$0.375$

Langkah 6.3

Pada $x = 0.125$ , turunannya adalah $0.375$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \frac{1}{4})$ .

Meningkat pada $(0, \frac{1}{4})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{4}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.25$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.25$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 24$ dengan $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 37.5$ dan $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 30$ .

$- 30$

Langkah 7.3

Pada $x = 1.25$ , turunannya adalah $- 30$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{1}{4}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \frac{1}{4})$

Menurun pada: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Langkah 9