Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $x^{2} - 6 x + 9$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Langkah 2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.4

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $3$ .

$3$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $9$ .

$f' (2) = 1$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 5.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $24$ dengan $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $9$ .

$f' (4) = 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(3, \infty)$ .

Meningkat pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Langkah 8