Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 - x}$ sebagai ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 4 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 1.1.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Langkah 1.1.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Langkah 1.1.13.2

Gabungkan $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

Langkah 4.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Langkah 4.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 - x}$ sebagai ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 (4 - x) = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.6.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$16 - 4 x = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$16 - 4 x = 0$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x = - 16$

Langkah 4.3.3.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x = - 16$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = - 16$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Langkah 4.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Langkah 4.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Langkah 4.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.3.1

Bagilah $- 16$ dengan $- 4$ .

$x = 4$

Langkah 4.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{4 - x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 - x < 0$

Langkah 4.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kurangkan $4$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x < - 4$

Langkah 4.5.2

Bagi setiap suku pada $- x < - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x < - 4$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.5.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x > 4$

Langkah 4.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \sqrt{4 - x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- \frac{1}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 4)$ .

Menurun pada $(- \infty, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2.1.3

Tulis kembali ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Langkah 7.2.1.4

Evaluasi eksponennya.

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Langkah 7.2.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

Langkah 7.2.2

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{1}{2 i}$ dengan konjugat $2 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Langkah 7.2.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Gabungkan.

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

Langkah 7.2.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.3.1

Tambahkan tanda kurung.

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 7.2.3.3.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 7.2.3.3.3

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 7.2.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Langkah 7.2.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Langkah 7.2.3.3.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Langkah 7.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

Langkah 7.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (5) = \frac{i}{2}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = 5$ turunannya adalah $\frac{i}{2}$ . Karena ini memuat sebuah bilangan imajiner, fungsinya tidak ada pada $(4, \infty)$ .

Fungsi tidak riil pada $(4, \infty)$ karena $f' (x)$ imajiner

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, 4)$

Langkah 9