Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5}{x + 5}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Langkah 1.1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x + 5}$ sebagai ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Langkah 1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 1.1.3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.5.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 = 0$

Langkah 2.3

Karena $5 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 4.2.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 5)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 6$ dan $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$- 5$

Langkah 6.3

Pada $x = - 6$ , turunannya adalah $- 5$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 5)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 5)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 5, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5$ .

$- 5$

Langkah 7.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $- 5$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 5, \infty)$ .

Menurun pada $(- 5, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Langkah 9