Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Kalikan $1 - x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.9.3.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9.3.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(- 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah ${(x - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Langkah 4.2.2.3.2

Bagilah $0$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f' (2) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Langkah 9