Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 4.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 7.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

Langkah 9