Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 12 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} = 12$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 12$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $12$ dengan $3$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $2, - 2$ .

$2, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

Langkah 5.2.2

Kurangi $12$ dengan $27$ .

$f' (- 3) = 15$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $15$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Langkah 6.2.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 12$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12$ .

$- 12$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 12$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 2)$ .

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Langkah 7.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

Langkah 7.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Langkah 7.2.2

Kurangi $12$ dengan $27$ .

$f' (3) = 15$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 7.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $15$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- 2, 2)$

Langkah 9