Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Langkah 2.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.3

Substitusikan nilai-nilai $a = - 3$ , $b = 6$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.2.2

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.3

Tambahkan $36$ dan $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.4

Tulis kembali $84$ sebagai $2^{2} \cdot 21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.2.2

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.3

Tambahkan $36$ dan $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.4

Tulis kembali $84$ sebagai $2^{2} \cdot 21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Langkah 2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.2.2

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.3

Tambahkan $36$ dan $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.4

Tulis kembali $84$ sebagai $2^{2} \cdot 21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Langkah 2.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Langkah 2.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.52752525$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.52752525$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $9.1651515$ dengan $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 16.16515166$ dan $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1.52752525$ , turunannya adalah $- 12.16515166$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.99999997$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.99999997$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $- 2.99999985$ dan $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$7$

Langkah 6.3

Pada $x = 0.99999997$ , turunannya adalah $7$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Meningkat pada $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.5275252$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $3.5275252$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Tambahkan $- 37.3303021$ dan $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 16.1651509$ dan $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Langkah 7.3

Pada $x = 3.5275252$ , turunannya adalah $- 12.1651509$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Menurun pada $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Menurun pada: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Langkah 9