Kalkulus Contoh

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8.3

Gabungkan $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ dan $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Langkah 1.1.3.8.4

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.4.1

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.4

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.5

Kurangi $7 x$ dengan $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.6

Kurangi $7$ dengan $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.7

Kurangi $7$ dengan $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.1.4.4.9

Kalikan $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ dengan $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.4.4.10

Kalikan ${(x - 1)}^{6}$ dengan ${(x - 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.4.10.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Langkah 1.1.4.4.10.2

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Langkah 1.1.4.4.11

Pindahkan $14$ ke sebelah kiri ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi setiap suku pada $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ dengan $14$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ dengan $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $14$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Bagilah ${(x + 1)}^{6}$ dengan $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4

Evaluasi ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Langkah 4.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $- 2$ .

$0^{7}$

Langkah 4.1.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Langkah 4.2.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, 0)$

Langkah 5