Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $12 x^{3} - 12 x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} - 12 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $12 x$ dari $36 x^{2} - 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $12 x$ dari $- 24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (3 x - 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $3 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $3 x - 2$ sama dengan $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $3 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 2$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (3 x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 3.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ adalah $(0, 1)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 1)$

Langkah 3.3

Substitusikan $\frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Langkah 3.3.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

Langkah 3.3.2.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

Langkah 3.3.2.1.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

Langkah 3.3.2.1.8

Kalikan $- 4 (\frac{8}{27})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.8.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

Langkah 3.3.2.1.8.2

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

Langkah 3.3.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2.5

Kurangi $16$ dengan $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{11}{27}$ .

$\frac{11}{27}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ adalah $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $0.36$ dan $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.76$ .

$2.76$

Langkah 5.3

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $2.76$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{2}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.\overline{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.\overline{3}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

Langkah 6.2.2

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 6.3

Pada $0.\overline{3}$ , turunan kedua adalah $- 4$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, \frac{2}{3})$

Menurun pada $(0, \frac{2}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.7\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.7\overline{6}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Langkah 7.2.2

Kurangi $18.4$ dengan $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.76$ .

$2.76$

Langkah 7.3

Pada $0.7\overline{6}$ , turunan keduanya adalah $2.76$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{2}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Langkah 9