Kalkulus Contoh

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x^{6} - 13 x^{5}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $10$ .

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 13$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 13 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 13$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $60 x^{5} - 65 x^{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $60$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $60 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $60$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 65$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 65 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 65$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $20 x^{3}$ dari $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $20 x^{3}$ dari $300 x^{4}$ .

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $20 x^{3}$ dari $- 260 x^{3}$ .

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $20 x^{3}$ dari $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ .

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{3}$ sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $15 x - 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $15 x - 13$ sama dengan $0$ .

$15 x - 13 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $15 x - 13 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $13$ ke kedua sisi persamaan.

$15 x = 13$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $15 x = 13$ dengan $15$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $15 x = 13$ dengan $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{13}{15}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{13}{15}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $10$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 13$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $\frac{13}{15}$ dalam $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{13}{15}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $13$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $15$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Faktorkan $5$ dari $11390625$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{4826809}{2278125}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $4826809$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

Langkah 3.3.2.1.8

Naikkan $13$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

Langkah 3.3.2.1.9

Naikkan $15$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

Langkah 3.3.2.1.10

Kalikan $- 13 (\frac{371293}{759375})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.10.1

Gabungkan $- 13$ dan $\frac{371293}{759375}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

Langkah 3.3.2.1.10.2

Kalikan $- 13$ dengan $371293$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

Langkah 3.3.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{4826809}{759375}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2278125$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Kalikan $\frac{4826809}{759375}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.3.2

Kalikan $759375$ dengan $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $- 4826809$ dengan $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

Langkah 3.3.2.5.2

Kurangi $14480427$ dengan $9653618$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

Langkah 3.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

Langkah 3.3.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{4826809}{2278125}$ .

$- \frac{4826809}{2278125}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{13}{15}$ dalam $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ adalah $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $300$ dengan $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 260$ dengan $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $0.03$ dan $0.26$ .

$f'' (- 0.1) = 0.29$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.29$ .

$0.29$

Langkah 5.3

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $0.29$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{13}{15})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.4\overline{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.4\overline{3}$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $300$ dengan $0.03526049$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $0.4\overline{3}$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 260$ dengan $0.081\overline{370}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

Langkah 6.2.2

Kurangi $21.15629629$ dengan $10.57\overline{814}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10.57814814$ .

$- 10.57814814$

Langkah 6.3

Pada $0.4\overline{3}$ , turunan kedua adalah $- 10.57814814$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, \frac{13}{15})$

Menurun pada $(0, \frac{13}{15})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{13}{15}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.9\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.9\overline{6}$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $300$ dengan $0.87318641$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $0.9\overline{6}$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 260$ dengan $0.903\overline{296}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

Langkah 7.2.2

Kurangi $234.85703703$ dengan $261.95592592$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $27.09888888$ .

$27.09888888$

Langkah 7.3

Pada $0.9\overline{6}$ , turunan keduanya adalah $27.09888888$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{13}{15}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{13}{15}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Langkah 9