Kalkulus Contoh

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 53)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 53$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 53$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $- 3 x^{2} + 18 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + 18 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $18 x$ terhadap $x$ adalah $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 x + 18 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $18$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 x = - 18$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 6 x = - 18$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 6 x = - 18$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 18$ dengan $- 6$ .

$x = 3$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3$ dalam $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 53$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 53$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 53$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $- 27$ dan $81$ .

$f (3) = 54 - 53$

Langkah 3.1.2.2.2

Kurangi $53$ dengan $54$ .

$f (3) = 1$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $3$ dalam $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ adalah $(3, 1)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(3, 1)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 3)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 17.4$ dan $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.6$ .

$0.6$

Langkah 5.3

Pada $2.9$ , turunan keduanya adalah $0.6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 3)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 6$ dengan $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 18.6$ dan $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.6$ .

$- 0.6$

Langkah 6.3

Pada $3.1$ , turunan kedua adalah $- 0.6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(3, \infty)$

Menurun pada $(3, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(3, 1)$ .

$(3, 1)$

Langkah 8