Kalkulus Contoh

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Langkah 1

Tulis $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 51$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 51 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 51$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 180$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 180 x$ terhadap $x$ adalah $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 180$ dengan $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $12 x^{2} - 102 x - 180$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2} - 102 x - 180$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $- 102 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $- 180$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 17$ dari $- 17 x$ .

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 17$ sebagai $3$ ditambah $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

Langkah 3.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

Langkah 3.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 3$ .

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

Langkah 3.4

Atur $2 x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $2 x + 3$ sama dengan $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $2 x + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 3$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{3}{2}$

Langkah 3.5

Atur $x - 10$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 10$ sama dengan $0$ .

$x - 10 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 10$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ benar.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{3}{2}, 10$ .

$- \frac{3}{2}, 10$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{3}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $6.25$ .

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 102$ dengan $- 2.5$ .

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $75$ dan $255$ .

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $180$ dengan $330$ .

$f' (- 2.5) = 150$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $150$ .

$150$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2.5$ , turunannya adalah $150$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{3}{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{3}{2})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.5, 10)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.25$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $4.25$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $18.0625$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 102$ dengan $4.25$ .

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $433.5$ dengan $216.75$ .

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $180$ dengan $- 216.75$ .

$f' (4.25) = - 396.75$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 396.75$ .

$- 396.75$

Langkah 7.3

Pada $x = 4.25$ , turunannya adalah $- 396.75$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1.5, 10)$ .

Menurun pada $(- \frac{3}{2}, 10)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(10, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $11$ pada pernyataan tersebut.

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $121$ .

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 102$ dengan $11$ .

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $1122$ dengan $1452$ .

$f' (11) = 330 - 180$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $180$ dengan $330$ .

$f' (11) = 150$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $150$ .

$150$

Langkah 8.3

Pada $x = 11$ , turunannya adalah $150$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(10, \infty)$ .

Meningkat pada $(10, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{3}{2}, 10)$

Langkah 10