Kalkulus Contoh

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Langkah 1

Tulis $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ sebagai fungsi.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $24 x^{2} - 36 x - 24$ dan $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $12$ dari $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $12$ dari $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $12$ dari $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $12$ dari $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Langkah 3.2.1.4

Faktorkan $12$ dari $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Langkah 3.2.1.5

Faktorkan $12$ dari $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 3$ sebagai $1$ ditambah $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Langkah 3.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Langkah 3.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ benar.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 36$ dengan $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $54$ dan $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $84$ .

$84$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.5$ , turunannya adalah $84$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{1}{2})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.5, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.75$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.75$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 36$ dengan $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $27$ dengan $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 37.5$ .

$- 37.5$

Langkah 7.3

Pada $x = 0.75$ , turunannya adalah $- 37.5$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 0.5, 2)$ .

Menurun pada $(- \frac{1}{2}, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 36$ dengan $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $108$ dengan $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $108$ .

$f' (3) = 84$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $84$ .

$84$

Langkah 8.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $84$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Langkah 10