Kalkulus Contoh

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Langkah 1

Tulis $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4 \ln (3 x - 4)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \ln (3 x - 4)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Langkah 2.1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Langkah 2.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Langkah 2.1.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Langkah 2.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Langkah 2.1.2.6

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Langkah 2.1.2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Langkah 2.1.2.8

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Langkah 2.1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{3 x - 4}$ dan $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.2.10

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.2.11

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Langkah 2.1.3.3

Kurangi $12$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 x - 16 = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 16$

Langkah 3.3.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 16$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 16$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 x - 4 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 4$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 4$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 4$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Langkah 7

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1.3333334, \frac{16}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.33333345$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Langkah 8.2.1.2

Kurangi $16$ dengan $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Langkah 8.2.3

Bagilah $- 5.99999965$ dengan $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Langkah 8.3

Pada $x = 3.33333345$ , turunannya adalah $- 0.99999988$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Menurun pada $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{16}{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $6.3333335$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Langkah 10.2.1.2

Kurangi $16$ dengan $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Langkah 10.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Langkah 10.2.3

Bagilah $3.0000005$ dengan $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0.20000002$ .

$0.20000002$

Langkah 10.3

Pada $x = 6.3333335$ , turunannya adalah $0.20000002$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{16}{3}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Menurun pada: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Langkah 12