Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Langkah 1

Tulis $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 16 x - 12$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $- 16$ dari $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali $- 16$ sebagai $2$ ditambah $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Langkah 3.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Langkah 3.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Langkah 3.4

Atur $3 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $3 x + 2$ sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $3 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 2$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2}{3}$

Langkah 3.5

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ benar.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.6666667$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.6666667$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $8.333333\overline{6}$ dan $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $23.00000086$ .

$23.00000086$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.6666667$ , turunannya adalah $23.00000086$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{2}{3})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.6666667, 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2.\overline{6}$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $42.6666664$ dengan $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Langkah 7.3

Pada $x = 2.\overline{6}$ , turunannya adalah $- 33.\overline{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 0.6666667, 6)$ .

Menurun pada $(- \frac{2}{3}, 6)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 16$ dengan $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $112$ dengan $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $35$ .

$f' (7) = 23$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $23$ .

$23$

Langkah 8.3

Pada $x = 7$ , turunannya adalah $23$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(6, \infty)$ .

Meningkat pada $(6, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{2}{3}, 6)$

Langkah 10