Kalkulus Contoh

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Langkah 1

Tulis $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} + 6 x - 12$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$12 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 x + 6 + 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $12 x + 6$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x + 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x + 6 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 x = - 6$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $12 x = - 6$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x = - 6$ dengan $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.9

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.13.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.13.2

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 4.1.2.1.13.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 4.1.2.1.13.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 6 \cdot - 1$

Langkah 4.1.2.1.14

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{- 1 + 3}{4}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2}{4}$

Langkah 4.1.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 (1)}{4}$

Langkah 4.1.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2}$

Langkah 4.1.2.3

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2}$

Langkah 4.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{12 + 1}{2}$

Langkah 4.1.2.6.2

Tambahkan $12$ dan $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$

Langkah 4.1.2.7

Jawaban akhirnya adalah $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \frac{1}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ adalah $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $12$ dengan $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 7.2$ dan $6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.2$ .

$- 1.2$

Langkah 6.3

Pada $- 0.6$ , turunan kedua adalah $- 1.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Menurun pada $(- \infty, - \frac{1}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $12$ dengan $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 4.8$ dan $6$ .

$f'' (- 0.4) = 1.2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.2$ .

$1.2$

Langkah 7.3

Pada $- 0.4$ , turunan keduanya adalah $1.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

Langkah 9