Kalkulus Contoh

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 1

Tulis $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Langkah 2.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Langkah 2.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $- \frac{1}{32}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{32}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.1.2.2

Gabungkan $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ dan $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Langkah 2.1.1.2.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Langkah 2.1.1.2.4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Langkah 2.1.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Langkah 2.1.1.2.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Langkah 2.1.1.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Langkah 2.1.1.2.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Langkah 2.1.1.2.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Langkah 2.1.1.2.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.4.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Langkah 2.1.1.2.4.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- \frac{1}{16}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Karena $- \frac{1}{32}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2}}{32}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.2.1

Gabungkan $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ dan $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.4.4.3

Gabungkan $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ dan $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.10

Kalikan $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Langkah 2.1.2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2.1.2.11.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2.1.2.11.2.2

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2.1.2.11.2.3

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2.1.2.11.2.4

Kalikan $16$ dengan $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Langkah 2.1.2.11.2.5

Gabungkan $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Langkah 2.2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - 4, 4$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Pindahkan $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.5

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 5.2.1.7

Pindahkan $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Langkah 5.2.1.8

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Langkah 5.2.1.9

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.9.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Langkah 5.2.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.9.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Langkah 5.2.1.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Langkah 5.2.1.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $64 e^{\frac{9}{8}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 5.2.5

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (- 6)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 4, 4)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.2.2

Bagilah $0$ dengan $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.4

Bagilah $0$ dengan $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Langkah 6.2.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.6.1

Bagilah $0$ dengan $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Langkah 6.2.1.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Langkah 6.2.1.6.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Langkah 6.2.2

Kurangi $\frac{1}{16}$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- 4, 4)$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- 4, 4)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Pindahkan $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.5

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.6.1

Faktorkan $4$ dari $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Langkah 7.2.1.7

Pindahkan $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Langkah 7.2.1.8

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Langkah 7.2.1.9

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Langkah 7.2.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.2.1

Faktorkan $4$ dari $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Langkah 7.2.1.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Langkah 7.2.1.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $64 e^{\frac{9}{8}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 7.2.5

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Langkah 7.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(4, \infty)$ karena $f'' (6)$ positif.

Cekung ke atas pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- 4, 4)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 9