Kalkulus Contoh

$y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Langkah 1

Tulis kembali sisi kanan dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 1$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1] - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.7.3

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.9

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.12

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.13

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.15

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.15.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.16

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.16.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.16.3

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.17

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.18

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.4.1.1

Kurangi $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.1.2

Tambahkan $1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.2.3

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.1

Tulis kembali $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ sebagai hasil kali.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.19.5.2

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$