Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Langkah 1.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.6.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Langkah 1.1.2.2.6.2

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$2 x^{- 3}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 2.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan ${(- 2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Faktorkan $- 2$ dari $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1

Faktorkan $- 2$ dari ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, 0)$ karena $f'' (- 2)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan ${(2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Langkah 5.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Langkah 5.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 5.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7