Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 1.1.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 1.1.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Langkah 1.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.1.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.1.4.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.1.4.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan ${(1 + x^{2})}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.2.1

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2.2

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2.3

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Langkah 1.1.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.9

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.11

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.16

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.17

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.18

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.3

Faktorkan $2$ dari $2 - 6 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagi setiap suku pada $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.2.1.2

Bagilah $1 - 3 x^{2}$ dengan $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 1.2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x^{2} = - 1$

Langkah 1.2.3.3

Bagi setiap suku pada $- 3 x^{2} = - 1$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x^{2} = - 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 1.2.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 1.2.3.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 1.2.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2.3.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.3.5.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.3.5.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 1.2.3.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 1.2.3.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.3.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 1.2.3.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{1 + x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$1 + x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 2.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 2.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 2.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 2.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 3$ dengan ${(- 3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan ${(- 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $27$ dengan $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Langkah 4.2.3.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Langkah 4.2.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Langkah 4.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 52$ dan $1000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Langkah 4.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Langkah 4.2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Langkah 4.2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Langkah 4.2.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Langkah 4.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (- 3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Langkah 5.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Langkah 5.2.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Langkah 6.2.1.3

Kurangi $27$ dengan $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $10$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Langkah 6.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 52$ dan $1000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Langkah 6.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Langkah 6.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Langkah 6.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8