Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5.2.4

Bagilah $2 x^{3}$ dengan $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x^{3} - 4 (2 x)$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 8 x$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 8 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 8$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{2} - 8$ .

$6 x^{2} - 8$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{2} - 8 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x^{2} - 8 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x^{2} = 8$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $6 x^{2} = 8$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{2} = 8$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{6}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$x^{2} = \frac{2 (4)}{6}$

Langkah 1.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Langkah 1.2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{4}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.3

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 1.2.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 1.2.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 1.2.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.2.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.2.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 1.2.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 1.2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} - 8$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 - 8$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $16$ .

$f'' (- 4) = 96 - 8$

Langkah 4.2.2

Kurangi $8$ dengan $96$ .

$f'' (- 4) = 88$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $88$ .

$88$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (- 4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 6 {(0)}^{2} - 8$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 6 \cdot 0 - 8$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 8$

Langkah 5.2.2

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 8$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 8$ .

$- 8$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = 6 {(4)}^{2} - 8$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = 6 \cdot 16 - 8$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $16$ .

$f'' (4) = 96 - 8$

Langkah 6.2.2

Kurangi $8$ dengan $96$ .

$f'' (4) = 88$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $88$ .

$88$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8