Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.7

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.4.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.4.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.4

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.4.2.1

Kurangi $4 x^{3}$ dengan $4 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.8.4.2.2

Tambahkan $12 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan ${(x^{2} + 3)}^{2}$ dengan $1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2

Faktorkan $x^{2} + 3$ dari ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 3$ dari ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2.2

Faktorkan $x^{2} + 3$ dari $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.5.2.3

Faktorkan $x^{2} + 3$ dari $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $x^{2} + 3$ dari ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.16

Gabungkan $12$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.17.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.17.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $12$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.17.2.2

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 36 x^{2} + 36 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $36$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 36 x^{2} = - 36$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 36 x^{2} = - 36$ dengan $- 36$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 36 x^{2} = - 36$ dengan $- 36$ .

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 36}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Bagilah $- 36$ dengan $- 36$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 1.2.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 1.2.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 1.2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 1.2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + 3 = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 3$

Langkah 2.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Langkah 2.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Langkah 2.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{3}$

Langkah 2.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{3}$

Langkah 2.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 2.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = \frac{- 36 {(- 4)}^{2} + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 36$ dengan $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 576 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.3

Tambahkan $- 576$ dan $36$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Langkah 4.2.2.3

Naikkan $19$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{6859}$

Langkah 4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 4) = - \frac{540}{6859}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (- 4)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{- 36 {(0)}^{2} + 36}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 36 \cdot 0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 36$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $36$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0 + 3)}^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{3^{3}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{27}$

Langkah 5.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan $9$ dari $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{27}$

Langkah 5.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Langkah 5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Langkah 5.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 1, 1)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = \frac{- 36 {(4)}^{2} + 36}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 36$ dengan $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 576 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.3

Tambahkan $- 576$ dan $36$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $19$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{6859}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (4) = - \frac{540}{6859}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(1, \infty)$ karena $f'' (4)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8