Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Langkah 2.1.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Langkah 2.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Langkah 2.2.5

Susun kembali $6 h^{2} x$ dan $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Langkah 4.1.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Langkah 4.1.3

Tambahkan $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $2 h$ dari $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $2 h$ dari $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.4.2

Faktorkan $2 h$ dari $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.4.3

Faktorkan $2 h$ dari $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Langkah 4.1.4.4

Faktorkan $2 h$ dari $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Langkah 4.1.4.5

Faktorkan $2 h$ dari $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Langkah 4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Langkah 4.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Langkah 4.4

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Langkah 4.5

Pindahkan $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Langkah 4.6

Susun kembali $6 x h$ dan $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $6 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Langkah 7

Pindahkan suku $6 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Langkah 8

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Langkah 10

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Langkah 10.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $6 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 11.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 11.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Langkah 11.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Langkah 11.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x^{2} + 0 + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $0$ .

$6 x^{2}$

Langkah 12