Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Langkah 2.1.2.2

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.3.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.3.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Langkah 2.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Langkah 2.2.2

Susun kembali $6 h x$ dan $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.2

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Langkah 4.1.3

Tambahkan $3 h^{2} + 6 h x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $3 h$ dari $3 h^{2} + 6 h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $3 h$ dari $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Langkah 4.1.4.2

Faktorkan $3 h$ dari $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Langkah 4.1.4.3

Faktorkan $3 h$ dari $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Langkah 4.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $3 (h + 2 x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Langkah 4.2.3.2

Susun kembali $3 h$ dan $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari $6 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Langkah 5.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$6 x + 3 \cdot 0$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$6 x + 0$

Langkah 7.2

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$6 x$

Langkah 8