Kalkulus Contoh

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

Langkah 1

Periksa apakah $f (x) = 4 - x^{2}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 1.2

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = 4 - x^{2}$ terdiferensiasi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 2.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 2.1.1.3

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Langkah 2.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x$ .

$- 2 x$

Langkah 2.2

Tentukan apakah turunannya kontinu di $[- 2, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2.2

$f' (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2.3

Fungsinya terdiferensialkan pada $[- 2, 2]$ karena turunannya kontinu di $[- 2, 2]$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 3

Agar panjang busur yang terjamin, fungsi dan turunannya harus kontinu pada interval tertutup $[- 2, 2]$ .

Fungsi dan turunannya kontinu pada interval tertutup $[- 2, 2]$ .

Langkah 4

Tentukan turunan dari $f (x) = 4 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 4.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 4.3

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 5

Untuk menghitung panjang busur fungsi, gunakan rumus $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

Langkah 6

Evaluasi integralnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ positif.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\tan (t)$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.2

Susun kembali suku-suku.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan $\sec (t)$ dan $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kalikan $\sec (t)$ dengan $\sec^{2} (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Langkah 6.2.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Langkah 6.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

Langkah 6.4

Terapkan rumus reduksi.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

Langkah 6.5

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Langkah 6.6.2

Untuk menuliskan $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Langkah 6.6.3

Gabungkan $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Langkah 6.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Langkah 6.6.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Langkah 6.6.6

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.6.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Langkah 6.7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Evaluasi $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ pada $1.32581766$ dan pada $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Langkah 6.7.2

Evaluasi $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ pada $1.32581766$ dan pada $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Langkah 6.7.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Langkah 6.8

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1.1

Evaluasi $\tan (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.1.2

Evaluasi $\sec (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.2

Kalikan $- 4$ dengan $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.3

Bagilah $- 16.4924225$ dengan $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 8.24621125$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.5.1.1

Evaluasi $\tan (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.5.1.2

Evaluasi $\sec (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.5.2

Kalikan $4$ dengan $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.5.3

Bagilah $16.4924225$ dengan $2$ .

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.6

Tambahkan $8.24621125$ dan $8.24621125$ .

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.7

Kalikan $2$ dengan $16.4924225$ .

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ mendekati $8.12310562$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Langkah 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ mendekati $0.12310562$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Bentuk Desimal:

$9.29356752 \dots$

Langkah 8