Kalkulus Contoh

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Langkah 1

Periksa apakah $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[0, 4]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Langkah 1.1.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x^{5}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{5} \geq 0$

Langkah 1.1.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Langkah 1.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[5]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Langkah 1.1.3.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x \geq 0$

Langkah 1.1.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 1.2

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ terdiferensiasi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Langkah 2.1.1.2

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Langkah 2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Langkah 2.1.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 2.1.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.1.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 2.1.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Langkah 2.1.1.7.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Langkah 2.1.1.8

Gabungkan $\frac{5}{4}$ dan $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 2.1.1.9

Kalikan $\frac{4}{5}$ dengan $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Langkah 2.1.1.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.10.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Langkah 2.1.1.10.2

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Langkah 2.1.1.11

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Langkah 2.1.1.12

Bagilah $x^{\frac{1}{4}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 2.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 2.2

Tentukan apakah turunannya kontinu di $[0, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[0, 4]$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Langkah 2.2.1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\sqrt[4]{x}$

Langkah 2.2.1.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 2.2.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 2.2.2

$f' (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2.3

Fungsinya terdiferensialkan pada $[0, 4]$ karena turunannya kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 3

Agar panjang busur yang terjamin, fungsi dan turunannya harus kontinu pada interval tertutup $[0, 4]$ .

Fungsi dan turunannya kontinu pada interval tertutup $[0, 4]$ .

Langkah 4

Tentukan turunan dari $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Langkah 4.2

Karena $\frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Langkah 4.7.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{5}{4}$ dan $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Langkah 4.9

Kalikan $\frac{4}{5}$ dengan $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Langkah 4.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Langkah 4.10.2

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Langkah 4.11

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Langkah 4.12

Bagilah $x^{\frac{1}{4}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Langkah 5

Untuk menghitung panjang busur fungsi, gunakan rumus $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Langkah 6