Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Langkah 1

Biarkan $u = y^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $y$ di $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $y$ di $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{5}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{5}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{6} u^{6}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $64$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Langkah 5.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Langkah 5.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.2.6

Untuk menuliskan $\frac{32}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.2.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Kalikan $\frac{32}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.2.7.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Langkah 5.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Langkah 5.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.1

Kalikan $32$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Langkah 5.2.9.2

Kurangi $1$ dengan $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Langkah 5.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $63$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Langkah 5.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Langkah 5.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Langkah 5.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Langkah 5.2.11

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.2.12

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{21}{4}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{21}{4}$

Bentuk Desimal:

$5.25$

Bentuk Bilangan Campuran:

$5 \frac{1}{4}$

Langkah 7