Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Langkah 2

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Langkah 2.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(t - 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Langkah 2.1.4.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(t - 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Langkah 2.1.5.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Langkah 2.1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(t - 3)}^{2}$ dan $t - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.1

Faktorkan $t - 3$ dari $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Langkah 2.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Langkah 2.1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Langkah 2.1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Langkah 2.1.5.2.2.4

Bagilah $B (t - 3)$ dengan $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Langkah 2.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Langkah 2.1.5.4

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Langkah 2.1.6

Susun kembali $A$ dan $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Langkah 2.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $t$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = B$

Langkah 2.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $t$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A - 3 B$

Langkah 2.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Langkah 2.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Langkah 2.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $0 = A - 3 B$ dengan $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Langkah 2.3.3

Selesaikan $A$ dalam $0 = A - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Langkah 2.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = 3 B = 1$

Langkah 2.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 3, B = 1$

Langkah 2.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Langkah 2.5

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = t - 3$ . Kemudian $d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = t - 3$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Langkah 5.3

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Langkah 5.5

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 6.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = t - 3$ . Kemudian $d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = t - 3$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 8.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Langkah 8.3

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Langkah 8.5

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $- {u_{1}}^{- 1}$ pada $- 1$ dan pada $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Langkah 10.2

Evaluasi $\ln (| u_{2} |)$ pada $- 1$ dan pada $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.9

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.11

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 10.3.12.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 11

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 1$ dan $0$ adalah $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Langkah 12.1.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 3$ dan $0$ adalah $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Bentuk Desimal:

$1.80277542 \dots$

Langkah 14