Kalkulus Contoh

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u^{2}$ dan $dv = \sin (2 u)$ .

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (2 u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Langkah 2.2

Gabungkan $u^{2}$ dan $\frac{\cos (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{2} \cdot 2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- \frac{1}{2} \cdot 2$ keluar dari integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Langkah 4.3.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

Langkah 4.5

Kalikan $\int \cos (2 u) (u) d u$ dengan $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = \cos (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $u$ dan $\frac{\sin (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

Langkah 8

Biarkan $u_{1} = 2 u$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d u$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{1} = 2 u$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $2 u$ .

$\frac{d}{d u} [2 u]$

Langkah 8.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $2 u$ terhadap $u$ adalah $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{d}{d u} [u]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 9

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 12

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

Langkah 13

Tulis kembali $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ sebagai $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 u$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$